7 UNICENTRO 2020 – Na figura, se O é o centro do círculo, então

7 UNICENTRO 2020 :

7 UNICENTRO 2020) Na figura, se O é o centro do círculo, então a medida da soma dos ângulos x e y, em graus, é igual a

A) 20

B) 30

C) 45

D) 75

E) 105

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo geometria espacial e triângulos.

O comando do exercício é: Na figura, se O é o centro do círculo, então a medida da soma dos ângulos x e y, em graus, é igual a.

Logo, queremos saber a soma dos valores de x e y. Para isso vamos primeiro identificar eles.

Se observamos o triângulo AÔC é um triângulo ISÓCELES, uma vez que os segmentos AO e BO são iguais ao raio da circunferência.

Sendo assim, o ângulo não destacado na figura também vale y.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180, sendo assim:

y+y+120=180\\
\ \\
2y=180-120\\
\ \\
y=\frac{60}{2}\\
\ \\
y=30

Como o valor de y podemos identificar quem é x.

Como o segmento AC passa pelo centro da circunferência, podemos dizer que ele é o diâmetro da circunferência. Segundo teoremas, quando um triângulo inscrito em uma circunferência tem como um de seus lados o diâmetro da circunferência, esse triângulo é retângulo.

Logo como é um triângulo retângulo, o ângulo não destacado é justamente o canto reto, que vale 90º, sendo assim temos que:

x+\frac{y}{2}+90=180\\
\ \\
x=180-90-\frac{30}{2}\\
\ \\
x = 75

Como temos os valores de x e y basta fazer a soma:

x+y=75+30=105

Logo como a soma é 105 a alternativa correta é a letra E.

GABARITO 7 UNICENTRO 2020 : E.

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