10 UNICENTRO 2021 – Com o intuito de montar uma comissão

10 UNICENTRO 2021 :

10 UNICENTRO 2021 ) Com o intuito de montar uma comissão para analisar o edital de seu vestibular, o setor competente da Universidade Uni-Verso precisa escolher 3 pessoas num grupo de 10, no qual 4 são discentes e os demais, docentes.

Supondo que tal escolha seja aleatória, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de que esta comissão tenha pelo menos um discente.

a) 3/10

b) 1/6

c) 2/5

d) 1/30

e) 5/6

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo análise combinatória e probabilidade.

O comando deste exercício é: Supondo que tal escolha seja aleatória, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de que esta comissão tenha pelo menos um discente.

Sendo assim, o exercício quer saber a probabilidade de ter pelo menos um discente.

Sabemos que probabilidade é dada por:

P=\frac{F}{T}

Onde:

• F: casos favoráveis, os que eu quero, no caso pelo menos um discente;
• T: casos totais, todos os casos possíveis.

Segundo o enunciado temos que:

• Grupo total de 10 pessoas;
• Escolher 3 pessoas;
• 4 do total de 10 são discentes.

Sendo assim, vamos primeiramente calcular as comissões totais, que é uma combinação de 10 pessoas agrupadas 3 a 3:

T=C_{10}^3=\frac{10!}{3!*7!}=\frac{10*9*8*7!}{3*2*7!}=\frac{10*9*8}{3*2}=10*3*4=120

Portanto T=120.

Já os casos favoráveis existe uma forma bem fácil de fazer: basta calcular todos os casos onde não teremos discentes e subtrair dos casos totais. Assim vamos ter todos os casos onde temos pelo menos um discente.

Sendo assim os casos com nenhum discente (chamaremos ND) serão uma combinação de 6 pessoas (excluindo os 4 discentes) agrupadas 3 a 3:

ND=C_{6}^3=\frac{6!}{3!*3!}=\frac{6*5*4*3!}{3*2*3!}=\frac{6*5*4}{3*2}=5*4=20

Logo, os casos favoráveis serão os 120 totais menos os 20 que não tem nenhum discente:

F=T-ND=120-20=100

Portanto a probabilidade será:

P=\frac{F}{T}\\
\ \\
P=\frac{100}{120}\\
\ \\
P=\frac{5}{6}\\

A alternativa que nos trás uma probabilidade 5/6 é a alternativa E.

GABARITO 10 UNICENTRO 2021 : E.

Confira a resolução de todos os exercícios do Unicentro.

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