32 UEPG 2018 INVERNO – Assinale o que for correto.

32 UEPG 2018 INVERNO:

32 UEPG 2018 INVERNO) Assinale o que for correto.

01) Se A = (x – y)⁵ + (y – x)⁵, então A = 0.

02) Se N = 1501² – 1500², então N = 3001.

04) Se M =√(1,777…)+(3/2)^-1,+8^2/3 , então M é um número irracional.

08) 10/4⁰ ∈ (ℚ+ −ℤ)

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo conjuntos numéricos e aritmética.

Vamos então resolver cada uma das sentenças.

01) Se A = (x – y)⁵ + (y – x)⁵, então A = 0.

Primeiramente, podemos fazer a seguinte denominação para solucionar este problema:

x-y=a\\
\ \\
como:\\ 
\ \\
y-x=-(x-y)\\
\ \\
temos\ que:\\
\ \\
y-x=-a

Sendo assim, podemos fazer a substituição:

(a)^5+(-a)^5

Por propriedades de potência, sabemos que quando o expoente é ímpar o sinal mantém, logo:

a^5-a^5=0

Logo, realmente é igual a zero.

Sendo assim a 01 está correta.

02) Se N = 1501² – 1500², então N = 3001.

Para solucionar esta equação, podemos utilizar do seguinte artifício matemático:

1501=1500+1\\
\ \\
logo:\\
\ \\
1501^2=(1500+1)^2\\
 \ \\
Sendo\ assim:\\
\ \\
N=(1500+1)^2-1500^2\\
\ \\
N=1500^2+1*1500+1*1500+1-1500^2\\
\ \\
N=3000+1\\
\ \\
N=3001

Sendo assim a 02 está correta.

04) Se M =√(1,777…)+(3/2)^-1,+8^2/3 , então M é um número irracional.

Para solucionar, o primeiro passo é identificarmos se conseguirmos escrever cada uma das partes de forma racional. Caso seja possível escrever os três elementos da nossa sentença de maneira racional, então será um número racional. Caso não seja possível, então será um número irracional.

Começando com o último:

8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=2^2=4

Logo é racional.

Vamos para o segundo elemento:

(\frac{3}{2})^{-1}=\frac{2}{3}

Logo é racional.

Faltando apenas o primeiro termo.

O primeiro passo será reescrever a dízima em formato de fração, para isso podemos fazer da seguinte forma:

1,7777...=x\\
\ \\
Sendo\ assim:\\
\ \\
17,777...=10x\\
\ \\
Subtraindo\ ambos:\\
\ \\
17,777...-1,777...=10x-x\\
\ \\
16=9x\\
\ \\
\frac{16}{9}=x

Substituindo na raiz:

\sqrt{1,777...}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}

Logo, todos são racionais. Sendo assim a soma será um número racional.

Sendo assim a 04 está incorreta.

08) 10/4⁰ ∈ (ℚ+ −ℤ)

Afirmação nos diz que o valor apontando não é um número inteiro, uma vez que é os números racionais menos os inteiros. Vamos verificar então:

\frac{10}{4^0}=\frac{10}{1}=10

Como 10 é um número inteiro, ele pertence sim ao conjunto numérico dos inteiros.

Sendo assim a 08 está incorreta.

Logo o gabarito será: 01+02=3.

GABARITO 32 UEPG 2018 INVERNO: 3.

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