32 UEPG 2018 VERÃO – A área total de um cone circular reto mede

32 UEPG 2018 VERÃO:

32 UEPG 2018 VERÃO) A área total de um cone circular reto mede 144π cm² e o seu diâmetro da base mede 16 cm. Sendo g a geratriz do cone reto, h a altura do cone e r o raio da base do cone, assinale o que for correto.

01) O valor de g + h + r é um número ímpar.

02) Os valores da altura, raio e geratriz formam nesta ordem, uma progressão geométrica decrescente.

04) O produto de r, g e h é um número real.

08) Os valores da altura, do raio e da geratriz, nessa ordem, formam uma progressão aritmética de razão positiva.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo geometria plana, geometria espacial e triângulos.

Para resolver as sentenças, vamos primeiramente desenhar o cone e colocar as informações nele. Lembrando que a geratriz é a diagonal da inclinação do cone:

Como o enunciado diz que o diâmetro da base é 16 cm, temos que o raio é metade do diâmetro:

r=\frac{16}{2}=8

Tendo o valor do raio e o valor da área total, podemos calcular o valor da geratriz e da altura. A área total é a soma da área da base com a área latera.

Temos que a área da base é:

A=\pi*r^2\\
\ \\
A=\pi*8^2\\
\ \\
A=64\pi

A área lateral é dada pela diferença entre a área total e área da base:

A_L=A_T-A\\
\ \\
A_L=144\pi-64\pi\\
\ \\
A_L=80\pi

Sabemos que a área lateral de um cone circular é dada por:

A_L=\pi*r*g\\
\ \\
Substituindo\ os\ valores\ que\ temos:\\
\ \\
80\pi=\pi*8*g\\
\ \\
\frac{80\pi}{8\pi}=g\\
\ \\
10=g

Com o valor de g, conseguimos encontrar o valor de h através de pitágoras:

g^2=h^2+r^2\\
\ \\
\sqrt{10^2-8^2}=h\\
\ \\
\sqrt{36}=h\\
\ \\
6=h

Portamos temos as três dimensões:

r=8\\
\ \\
g=10\\
\ \\
h=6

Podemos então ir para as sentenças.

01) O valor de g + h + r é um número ímpar.

Vamos somar para verificar:

g+h+r=10+6+8=24

24 é um número par.

Sendo assim a 01 está incorreta.

02) Os valores da altura, raio e geratriz formam nesta ordem, uma progressão geométrica decrescente.

Colocando em ordem temos: 6-8-10.

Como os valores aumentam, é crescente e não decrescente.

Sendo assim a 02 está incorreta.

04) O produto de r, g e h é um número real.

Para essa sentença não é nem necessário fazer a conta. Uma vez que você está multiplicando 3 números reais, o resultado também será um número real.

Sendo assim a 04 está correta.

08) Os valores da altura, do raio e da geratriz, nessa ordem, formam uma progressão aritmética de razão positiva.

Buscando nossa sequência novamente: 6-8-10.

É uma progressão aritmética, onde aumenta 2 a cada valor. Portanto é uma progressão aritmética de razão positiva.

Sendo assim a 08 está correta.

Portanto o gabarito é: 04+08=12.

GABARITO 32 UEPG 2018 VERÃO: 12.

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