35 UEPG 2021:
35 UEPG 2021) Considere esta sequência de 9 números:
Cada número, após os três primeiros, é igual à soma dos três números anteriores. Sabendo que o 3º número na sequência é 6, o 6º número na sequência é 11 e o 9º número na sequência é 13, assinale o que for correto.
01) A = 133.
02) B, D e F têm valores negativos.
04) E é ímpar.
08) C + D = 5
Confira abaixo a resolução completa:
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Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo sistemas de equações.
Como as alternativas queremos saber o valor de A, B, C, D, E e F, vamos ter que encontrar os valores.
Segundo o enunciado:
Cada número, após os três primeiros, é igual a soma dos três anteriores. Com isso vamos conseguir montar um sistema de equação e conseguir encontrar as 6 letras. Sendo assim, vamos equacionar:
( 1 ) C = A + B + 6 ( 2 ) D = B + 6 + C ( 3 ) 11 = 6 + C + D ( 4 ) E = C + D + 11 ( 5 ) F = D + 11 + E ( 6 ) 13 = 11 + E + F (1)\ C=A+B+6\\
\ \\
(2)\ D=B+6+C\\
\ \\
(3)\ 11=6+C+D\\
\ \\
(4)\ E=C+D+11\\
\ \\
(5)\ F=D+11+E\\
\ \\
(6)\ 13=11+E+F\\
( 1 ) C = A + B + 6 ( 2 ) D = B + 6 + C ( 3 ) 11 = 6 + C + D ( 4 ) E = C + D + 11 ( 5 ) F = D + 11 + E ( 6 ) 13 = 11 + E + F Sendo assim, vamos substituir uma equação na outra em sequência:
( 1 ) e m ( 2 ) : D = B + 6 + ( A + B + 6 ) ( 7 ) D = A + 2 B + 12 (1)\ em\ (2):\\
\ \\
D=B+6+(A+B+6)\\
\ \\
(7)\ D=A+2B+12 ( 1 ) e m ( 2 ) : D = B + 6 + ( A + B + 6 ) ( 7 ) D = A + 2 B + 12 ( 1 ) e ( 7 ) e m ( 3 ) 11 = 6 + ( A + B + 6 ) + ( A + 2 B + 12 ) 11 = 24 + 2 A + 3 B ( 8 ) − 13 = 2 A + 3 B (1)\ e\ (7)\ em\ (3)\\
\ \\
11=6+(A+B+6)+(A+2B+12)\\
\ \\
11=24+2A+3B\\
\ \\
(8)\ -13=2A+3B\\ ( 1 ) e ( 7 ) e m ( 3 ) 11 = 6 + ( A + B + 6 ) + ( A + 2 B + 12 ) 11 = 24 + 2 A + 3 B ( 8 ) − 13 = 2 A + 3 B ( 1 ) e ( 7 ) e m ( 4 ) E = ( A + B + 6 ) + ( A + 2 B + 12 ) + 11 ( 9 ) E = 2 A + 3 B + 29 (1)\ e\ (7)\ em\ (4)\\
\ \\
E=(A+B+6)+(A+2B+12)+11\\
\ \\
(9)\ E=2A+3B+29\\
( 1 ) e ( 7 ) e m ( 4 ) E = ( A + B + 6 ) + ( A + 2 B + 12 ) + 11 ( 9 ) E = 2 A + 3 B + 29 ( 7 ) e ( 9 ) e m ( 5 ) F = ( A + 2 B + 12 ) + 11 + ( 2 A + 3 B + 29 ) ( 10 ) F = 3 A + 5 B + 52 (7)\ e\ (9)\ em\ (5)\\
\ \\
F=(A+2B+12)+11+(2A+3B+29)\\
\ \\
(10)\ F=3A+5B+52 ( 7 ) e ( 9 ) e m ( 5 ) F = ( A + 2 B + 12 ) + 11 + ( 2 A + 3 B + 29 ) ( 10 ) F = 3 A + 5 B + 52 ( 10 ) e ( 9 ) e m ( 6 ) 13 = 11 + ( 2 A + 3 B + 29 ) + ( 3 A + 5 B + 52 ) 13 = 5 A + 8 B + 92 ( 11 ) − 79 = 5 A + 8 B (10)\ e\ (9)\ em\ (6)\\
\ \\
13=11+(2A+3B+29)+(3A+5B+52)\\
\ \\
13=5A+8B+92\\
\ \\
(11)\ -79=5A+8B ( 10 ) e ( 9 ) e m ( 6 ) 13 = 11 + ( 2 A + 3 B + 29 ) + ( 3 A + 5 B + 52 ) 13 = 5 A + 8 B + 92 ( 11 ) − 79 = 5 A + 8 B Sendo assim, vamos pegar as equações 11 e 8 que tem A e B para encontrá-los, e depois encontrar as demais letras:
{ − 13 = 2 A + 3 B − 79 = 5 A + 8 B I s o l a n d o A : A = − 13 − 3 B 2 − 79 = 5 ∗ ( − 13 − 3 B 2 ) + 8 B − 79 = − 65 2 − 15 B 2 + 8 B − 79 + 65 2 = B 2 − 93 = B L o g o : A = − 13 − 3 ∗ ( − 93 ) 2 A = 133 \begin{cases}
-13=2A+3B\\
-79=5A+8B \\
\end{cases}\\
\ \\
Isolando\ A:\\
\ \\
A=\frac{-13-3B}{2}\\
\ \\
-79=5*(\frac{-13-3B}{2})+8B\\
\ \\
-79=-\frac{65}{2}-\frac{15B}{2}+8B\\
\ \\
-79+\frac{65}{2}=\frac{B}{2}\\
\ \\
-93=B\\
\ \\
Logo:\\
\ \\
A=\frac{-13-3*(-93)}{2}\\
\ \\
A=133 { − 13 = 2 A + 3 B − 79 = 5 A + 8 B I so l an d o A : A = 2 − 13 − 3 B − 79 = 5 ∗ ( 2 − 13 − 3 B ) + 8 B − 79 = − 2 65 − 2 15 B + 8 B − 79 + 2 65 = 2 B − 93 = B L o g o : A = 2 − 13 − 3 ∗ ( − 93 ) A = 133 Sabemos então que A=133 e B=-93.
Sendo assim podemos encontrar as demais letras:
C=46
C = A + B + 6 C = 133 − 93 + 6 = 46 C=A+B+6\\
\ \\
C=133-93+6=46 C = A + B + 6 C = 133 − 93 + 6 = 46 D=-41
D = A + 2 B + 12 D = 133 + 2 ∗ ( − 93 ) + 12 = − 41 D=A+2B+12\\
\ \\
D=133+2*(-93)+12=-41 D = A + 2 B + 12 D = 133 + 2 ∗ ( − 93 ) + 12 = − 41 E=16
E = 2 A + 3 B + 29 E = 2 ∗ 133 + 3 ∗ ( − 93 ) + 29 = 16 E=2A+3B+29\\
\ \\
E=2*133+3*(-93)+29=16 E = 2 A + 3 B + 29 E = 2 ∗ 133 + 3 ∗ ( − 93 ) + 29 = 16 F=-14
F = 3 A + 5 B + 52 F = 3 ∗ 133 + 5 ∗ ( − 93 ) + 52 = − 14 F=3A+5B+52\\
\ \\
F=3*133+5*(-93)+52=-14 F = 3 A + 5 B + 52 F = 3 ∗ 133 + 5 ∗ ( − 93 ) + 52 = − 14 A=133
B=-93.
C=46
D=-41
E=16
F=-14
Sendo assim vamos para as alternativas:
01) A = 133.
Verdadeiro , a é igual a 133.
02) B, D e F têm valores negativos.
Verdadeiro , os três são negativos.
04) E é ímpar .
E é igual a 16, logo é falsa .
08) C + D = 5
C + D = 46 + ( − 41 ) = 5 C+D=46+(-41)=5 C + D = 46 + ( − 41 ) = 5 Logo, é verdadeira.
Sendo assim, o gabarito será: 1+2+8=11.
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