ANÁLISE COMBINATÓRIA / ENEM 2021 / EQUAÇÃO DE 2º GRAU / MATEMÁTICA

159 Enem 2021 REAPLICAÇÃO – Um diretor esportivo organiza um

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159 ENEM 2021 REAPLICAÇÃO)

159 ENEM 2021 REAPLICAÇÃO) Um diretor esportivo organiza um campeonato no qual haverá disputa de times em turno e returno, isto é, cada time jogará duas vezes com todos os outros, totalizando 380 partidas a serem disputadas.

A quantidade de times (x) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação

a) x = 380 – x²

b) x² – x = 380

c) x² = 380

d) 2x – x = 380

e) 2x = 380

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo análise combinatória e funções de segundo grau.

O comando deste exercício é: A quantidade de times (x) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação.

Logo queremos saber qual a expressão correta que vai nos dar a quantidade corretas de times para termos 380 partidas em 2 turnos de campeonatos.

Para isso, vamos começar eliminando algumas alternativas:

Alternativa C)

Para calcularmos a quantidade de times podemos passar o quadrado como raiz:

x=380x=\sqrt{380}

Sabemos que não existe raiz exata de 380, logo essa pode ser descartada.

Alternativa D)

Basta solucionar a equação:

2x−x=380 x=3802x-x=380\\ \ \\ x=380

Não tem como ser 380 times e ter 380 partidas em 2 turnos.

Alternativa E)

Solucionar a equação:

2x=380 x=3802 x=1902x=380\\ \ \\ x=\frac{380}{2}\\ \ \\ x=190

Também não tem como ser 380 partidas em 2 turnos com 190 times, lembrando que cada time tem que jogar com cada outro time.

Sobram apenas duas alternativas, A e B. Vamos solucionar elas então.

Alternativa A:

x=380−x2 x2+x−380=0 solucionando a equaça~o: x=−1±1−4∗1∗(−380)2=−1±15212 x=−1±392 x′=−1+392=19 x′′=−1−392=−20x=380-x^2\\ \ \\ x^2+x-380=0\\ \ \\ solucionando\ a\ equação:\\ \ \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4*1*(-380)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{1521}}{2}\\ \ \\ x=\frac{-1\pm39}{2}\\ \ \\ x'=\frac{-1+39}{2}=19\\ \ \\ x''=\frac{-1-39}{2}=-20

Como não tem como ter quantidade de times negativo, vamos calcular os jogos apenas com o 19. Podemos utilizar um arranjo, uma vez que a ordem interfere já que são dois turnos de jogos (Time A x Time B é diferente de Time B x Time A).

Logo:

A192=19!17!=19∗18∗17!17!=19∗18=342A_{19}^2 =\frac{19!}{17!}=\frac{19*18*17!}{17!}=19*18=342

Logo, como são 342 partidas, a alternativa A também está descartada. Logo a alternativa correta é a letra B, pois já descartamos todas as outras.

Mas vamos fazer a conta para confirmar:

Alternativa B:

x2−x=380 x2−x−380=0 solucionando a equaça~o: x=1±1−4∗1∗(−380)2=1±15212 x=1±392 x′=1+392=20 x′′=1−392=−19x^2-x=380\\ \ \\ x^2-x-380=0\\ \ \\ solucionando\ a\ equação:\\ \ \\ x=\frac{1\pm \sqrt{1-4*1*(-380)}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{1521}}{2}\\ \ \\ x=\frac{1\pm39}{2}\\ \ \\ x'=\frac{1+39}{2}=20\\ \ \\ x''=\frac{1-39}{2}=-19

Como não tem como ter quantidade de times negativo, vamos calcular os jogos apenas com o 20. Podemos utilizar um arranjo, uma vez que a ordem interfere já que são dois turnos de jogos (Time A x Time B é diferente de Time B x Time A).

Logo:

A202=20!18!=20∗19∗18!18!=20∗19=380A_{20}^2 =\frac{20!}{18!}=\frac{20*19*18!}{18!}=20*19=380

Logo como deu 380 jogos, a alternativa B realmente é a correta, com 20 times.

GABARITO 159 ENEM 2021 REAPLICAÇÃO: B.

Confira a resolução de todos os exercícios do Enem.

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